一类新的广义Gauss和及其四次均值 A new generalized Gauss sums and its fourth power mean 1 first-author 陈丽，女，陕西西安人，副教授，从事基础数学的教学与研究，chenli_0928@xaufe.edu.cn。 陈丽，女，陕西西安人，副教授，从事基础数学的教学与研究，chenli_0928@xaufe.edu.cn。 chenli_0928@xaufe.edu.cn 西安财经大学　数学学院，陕西　西安　710100 西安财经大学　数学学院，陕西　西安　710100 School of Mathematics, Xi'an University of Finance and Economics, Xi'an 710100, China School of Mathematics, Xi'an University of Finance and Economics, Xi'an 710100, China 张欢 该文给出了一类新的广义Gauss和 G （ a ， b ， c ， χ ； q ）。为寻找这些和式之间存在的潜在关系，从其定义出发，通过应用初等解析方法以及与三角和相关的一些重要性质对这类新的广义Gauss和 G （ a ， b ， c ， χ ； q ）的四次均值进行了研究。最终通过计算给出了它的一个重要的恒等式。此结果扩充了解析数论中的经典Gauss和与Kloosterman和的内容，也为该领域的进一步发展做出了新的贡献。同时，也提出了此类领域中仍然存在且未被解决的一些和式的均值计算问题。 This paper mainly presents a new class of generalized Gauss sums. In order to find the potential relationship between these sums, we start from their definition, and study the fourth means of this new generalized Gauss sums by applying elementary analytic methods and some important qualities related to trigonometric sums. This result extends the classical Gauss sums and Kloosterman sums in analytic number theory, and makes a new contribution to the further development of this field. Finally, by calculating, an important identity is given. At the same time, we also put forward some problems that still exist and have not been solved in this field. 新的广义高斯和 四次均值 初等方法 计算公式 a new generalized Gauss sums the fourth power mean elementary method computational formula 令 q 是整数， χ 表示模 q 的任意Dirichlet特征，对于任意的整数 a 、 b 和 c ，介绍下面一种新的和式，即广义Gauss和 G ( a ， b ， c ， χ ； q )，定义如下。 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884924&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884927&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884934&type= 其中， e ( y )=e 2πi y ，i 2 =1。 不难看出，如果 a = c =0， b =1，那么， G (0，1，0， χ ； q )= τ ( χ )；如果 b = c =0，( a ， q )=1，那么， G ( a ，0，0， χ ； q )= χ ( a )· τ ( χ 2 )。显而易见，它们都是经典的Gauss和，因此，把 G ( a ， b ， c ， χ ； q )称为新的广义Gauss和。并且，完全可以证明 G ( a ， b ， c ， χ ； q )是一个广义Kloosterman和(具体证明参阅第1节引理2)。为了寻找这些和式之间的潜在关系，研究 G ( a ， b ， c ， χ ； q )的各种数论性质是极其必要且有意义的。 本文将研究广义Gauss和 G ( a ， b ， c ， χ ； q )的均值计算问题，并给出在 q = p 且 q 为一个奇素数时， G ( a ， b ， c ， χ ； q )的四次均值的一个精确计算公式，最终完成定理1的证明。 定理1 　令 p 是奇素数， a 和 b 是2个整数且( a ， p )=1。则对模 p 的任意阶非主特征 χ ，下面的恒等式可以被给出，即 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884935&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884948&type= 注1 　本文只研究了 G ( a ， b ， c ， χ ； p )在最为简单情形下的四次均值的计算问题。而对于任意整数 k ≥3，是否存在2 k 次均值的一个精确的计算公式？还是一个公开的问题。建议感兴趣的读者可以一起研究。 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884939&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884941&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884954&type= 不难看到，如果 χ 是模 p 的主特征 χ 0 ，那么， G ( a ， b ， c ， χ 0 ； p )就成为普通的三角和，这时其值的模长为常数，因此结果是平凡的。针对这种情况没有必要去考虑。 除此之外，如果条件是一般的整数 q ≥3，是否也存在与定理1类似的结果？这也是一个有趣的问题，需要做进一步的考察。 若干引理 1 为了证明本文中所给的定理1，在这一部分，需要给出3个简单的引理。本节会多次用到很多初等数论和解析数论的相关知识，经典Gauss和以及Dirichlet特征的主要性质，有关这些知识点的具体内容在文献[ 1 1 - 3 3 1-3 ]中均有详细的介绍，这里不再罗列。 引理1 　令 p 是奇素数，则对任意整数 k 、 a 、 b ，且( ka ， p )=1，有下面的三角恒等式 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884943&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884958&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884959&type= 式中： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884961&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884978&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884965&type= 表示同余方程 x · a ≡1mod( p )的解； χ 2 = http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884982&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884986&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884970&type= 表示模 p 的勒让德符号； τ ( χ 2 )表示与 χ 2 有关的经典Gauss和。 证明 　由模 p 的简化剩余系的性质并经过整理，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884974&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884988&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884989&type= 其次，对任意整数 c 且( c ， p )=1，由勒让德符号的性质，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884993&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884995&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44884999&type= 结合式(1)和式(2)，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885002&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885015&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885006&type= 引理1证毕。 引理2 　令 p 是奇素数， a 和 b 是任意的2个整数且( a ， p )=1。则对模 p 的任意阶非主特征 χ ，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885019&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885022&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885027&type= 证明 　根据经典Gauss和的性质及引理1，可得 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885041&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885044&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885048&type= 又根据 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885054&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885060&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885069&type= ，由式(3)可得 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885063&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885066&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885079&type= 引理2证毕。 引理3 　令 p 是奇素数， χ 是模 p 的任意阶Dirichlet特征。则对任意的整数 n 且( n ， p )=1，可以给出 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885084&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885086&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885088&type= 证明 　证明过程可参阅文献[ 4 4 - 5 5 4-5 ]。与广义Kloosterman和有关的其它文章均可参阅文献[ 6 6 - 14 14 6-14 ]。 定理1的证明 1 本节将应用第1节的引理对所给定理1的结论进行一个完整的证明。首先，因为 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885106&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885113&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885109&type= =1，根据引理2以及模 p 的简化剩余系的性质，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885115&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885119&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885122&type= 如果 χ = χ 2 是模 p 的勒让德符号，则 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885132&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885127&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885135&type= = χ 0 ，这里 χ 0 是模 p 的主特征。再根据三角和的性质，可得 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885139&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885142&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885150&type= 根据式(4)和引理3，有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885152&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885165&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885156&type= 而当 χ 是模 p 的任意阶非实特征时，可得 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885173&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885192&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885190&type= 不是模 p 的一个实特征。此时有 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885195&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885182&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885186&type= 再从式(4)和引理3，可以推出 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885201&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885205&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885221&type= 最后，将式(5)和式(6)结合，即可得到定理1的内容。 结语 1 本文通过研究一类新的广义高斯和的均值问题，计算得到了它的四次均值的一个新的公式。即在任意整数 a 和 b ，且( a ， p )=1的条件下，得到了计算公式 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885209&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885226&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=44885229&type= 通过研究可以看出，该结果是有意义且有必要的，它不仅扩充了解析数论中的两大著名和式经典Gauss和与Kloosterman和的研究内容，同时也为该领域的进一步发展做出了新的贡献。 另外，本文也提出了解析数论领域中需要进一步研究的几个问题，这些都有助于该领域研究工作的进一步展开。 参考文献 APOSTOL T M . Introduction to analytic number theory [M]. New York : Springer-Verlag , 1976 . Introduction to analytic number theory 张文鹏 , 李海龙 . 初等数论 [M]. 3 版. 西安 : 陕西师范大学出版社 , 2013 . 初等数论 NARKIEWICZ W . Classical problems in number theory [M]. Warszawa : Polish Scientifc Publishers , 1986 . Classical problems in number theory ZHANG W P . On the fourth power mean of the general Kloosterman sums [J]. Indian Journal of Pure & Applied Mathematics , 2004 , 35 ( 2 ): 237 - 242 . On the fourth power mean of the general Kloosterman sums 李江华 , 刘燕妮 . Gauss和与广义Kloosterman和的几个新的恒等式 [J]. 数学学报(中文版) , 2013 , 56 ( 3 ): 413 - 418 . Gauss和与广义Kloosterman和的几个新的恒等式 LI J H , LIU Y N . Gauss sum and several newidentities with generalized Kloosterman sum [J]. Acta Mathematica Sinica (Chinese Series) , 2013 , 56 ( 3 ): 413 - 418 . Gauss sum and several newidentities with generalized Kloosterman sum ZHANG W P . On the general Kloosterman sum and its fourth power mean [J]. Journal of Number Theory , 2004 , 104 ( 1 ): 156 - 161 . On the general Kloosterman sum and its fourth power mean 王婷婷 . 广义二项指数和的四次幂均值 [J]. 陕西师范大学学报(自然科学版) , 2021 , 49 ( 5 ): 6 - 12 . 广义二项指数和的四次幂均值 WANG T T . On the fourth power mean of the generalized two-term exponential sum [J]. Journal of Shaanxi Normal University (Natural Science Edition) , 2021 , 49 ( 5 ): 6 - 12 . On the fourth power mean of the generalized two-term exponential sum ZHANG W P . The fourth and sixth power mean of the classical Kloosterman sums [J]. Journal of Number Theory , 2011 , 131 ( 2 ): 228 - 238 . The fourth and sixth power mean of the classical Kloosterman sums 张文鹏 . 关于模 p 的一类同余方程解的个数 [J]. 西北大学学报(自然科学版) , 2016 , 46 ( 3 ): 313 - 316 . 关于模p的一类同余方程解的个数 ZHANG W P . The number of solutions to a class of congruent equations with respect to module p [J]. Journal of Northwest University (Natural Science Edition) , 2016 , 46 ( 3 ): 313 - 316 . The number of solutions to a class of congruent equations with respect to module p ZHANG W P , LIU H N . On the general Gauss sums and their fourth power mean [J]. Osaka Journal of Mathematics , 2005 , 42 ( 1 ): 189 - 199 . On the general Gauss sums and their fourth power mean ZHANG W P . On the fourth power mean of the general Kloosterman sums [J]. Journal of Number Theory , 2016 , 169 : 315 - 326 . On the fourth power mean of the general Kloosterman sums ZHANG W P , SHEN S M . A note on the fourth power mean of the generalized Kloosterman sums [J]. Journal of Number Theory , 2017 , 174 : 419 - 426 . A note on the fourth power mean of the generalized Kloosterman sums KLOOSTERMAN H D . On the representation of numbers in the form ax 2 + by 2 + cz 2 + dt 2 [J]. Acta Math , 1927 , 49 ( 3 ): 407 - 464 . On the representation of numbers in the form ax2+by2+cz2+dt2 MALYSHEV A V . A generalization of Kloosterman sums and their estimates [J]. Vestnik Leningrad Univ , 1960 , 15 : 59 - 75 . A generalization of Kloosterman sums and their estimates 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2023-03-014 O156.7 陕西省自然科学基础研究项目（2022JQ-072） 2022-11-15 2023-06-25 2023-06-26 2023 39049418 西北大学学报（自然科学版） 3 53